Rasgele deği̇şkenler dönüşümler ve dağilimlar
•
1 like•3,497 views
Rasgele değişkenler dönüşümler ve dağılımlar
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Rasgele deği̇şkenler dönüşümler ve dağilimlar
- 1. RASGELE DEĞİŞKENLER,DÖNÜŞÜMLER ve DAĞILIMLAR MUSA SARİ TRABZON 2014
- 2. DENEY • Deney: Bilimsel bir gerçeği göstermek bir yasayı doğrulamak, bir varsayımı kanıtlamak amacıyla yapılan işleme denir. • Örnek uzay: Bir deneyin tüm mümkün sonuçlarının kümesine denir. ΩK = 1,2,3,4,5,6 ΩS = {푋|푎 < 푥 < 푏}
- 3. OLASILIK UZAYI • Tanım: 푈, 훺 da bir 휎-cebir ve 푃, 푈 da bir olasılık ölçüsü olmak üzere (Ω, 푈, 푃) üçlüsüne olasılık uzayı denir. Tanım: Bir Ω kümesinin alt kümelerinden oluşan bir 푈 sınıfı, 1. Ω ∈ 푈, 2. ∀A ∈ 푈 kümesi için 퐴 ∈ 푈, 3. ∀퐴, 퐵 ∈ 푈 ise 퐴 ∪ 퐵 ∈ 푈, özelliklerine sahipse 푈 sınıfına Ω da bir cebir denir. Tanım: Bir Ω kümesinin alt kümelerinden oluşan bir 푈 sınıfı, 1. Ω ∈ 푈, 2. ∀A ∈ U kümesi için 퐴 ∈ 푈, 3. 푈 da ∀퐴푛 dizisi için ∞ 푛=1 퐴푛 ∈ 푈, özelliklerine sahipse 푈 sınıfına Ω da bir 휎 −cebir denir.
- 4. RASGELE DEĞİŞKEN • Tanım: Değeri bir deney sonucuyla belirtilen bir değişkene rasgele değişken denir. Bir fabrikada üretilen lambaların çalışma süresi Bir ailedeki çocuk sayısı Belli bir bileşiğin alkol yüzdesi • Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. 푋 in alabileceği değerlerin sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuz ise 푋 e kesikli rasgele değişken denir. Ω = {1,2,3,4,5,6} • Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. 푋 bir veya birden çok aralıkta her değeri alabiliyorsa 푋 e sürekli rasgele değişken denir. Ω = {푋|푎 < 푥 < 푏}
- 5. DÖNÜŞÜM YÖNTEMLERİ • Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 푋, (Ω, 푈, 푃) olasılık uzayında bir rasgele değişken ve 푔: 푹 → 푹 fonksiyonu, ∀ 퐵 ∈ 픅 için {푥: 푔 푥 ∈ 픅} özelliğine sahip ise 푌 = 푔 ∘ 푋 = 푔(푋) fonksiyonu da (Ω, 푈, 푃) uzayında bir rasgele değişkendir. Y rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu, 1. Dağılım fonksiyonu 2. Olasılık (yoğunluk) fonksiyonu (ters dönüşüm yöntemi) 3. Moment çıkaran fonksiyonu teknikleri yardımıyla belirlenebilir.
- 6. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ Tanım: Bir dönüşümün olasılık dağılımının bulunmasında önce dağılım fonksiyonunun belirlenmesi yöntemine dağılım fonksiyonu tekniği denir. Kesikli bir 푋 rasgele değişkeninin değer kümesi 푋(Ω) ve olasılık fonksiyonu 푓푋 olsun. 푔: 푋 Ω → 푹 olmak üzere 푌 = 푔(푋) rasgele değişkeni de kesiklidir ve 푌 nin olasılık fonksiyonu, fY y = P Y = y = P g X = y = P X ∈ x: g x = y dır. = x:g x =y fx x , y ∈ Y(Ω)
- 7. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ Örnek: 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu, 푓 푥 = 1 5 , 푥 ∈ { −2, −1,0,1,2 } olsun. 푌 = 푋2 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu nedir? 푋 Ω = −2, −1,0,1,2 ve 푌 Ω = 0,1,4 퐹(푦) = 푥:푥2=푦 푓 푥 , 푦 ∈ 푌(Ω) 푓(0) = 1 5 , 푓(1) = 2 5 , 푓(4) = 2 5 dır.
- 8. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ 푔: 퐴 → 푹 ve 푋(Ω) ⊂ 퐴 ve sürekli 푋 rasgele değişkeninin değer kümesi 푋 Ω olmak üzere, 푌 = 푔(푋) rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, 퐹푌 푦 = 푃 푌 ≤ 푦 = 푃 푔 푥 ≤ 푦 , −∞ < 푦 < ∞ olacaktır. Örnek: 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 푓 푥 = 1 3 , −1 ≤ 푥 ≤ 2 0 , 푑. 푦. olsun. Bu durumda 푔 푥 = 2푥 + 2, 푥 ∈ 푹 olmak üzere 푍 = 푔(푋) rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu:
- 9. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ 퐹푍 푧 = 푃 푍 ≤ 푧 = 푃 2푋 + 2 ≤ 푧 = 푃 푋 ≤ 푧 − 2 2 FZ(z) = 0 , 푧 − 2 2 < −1 푧−2 2 −1 1 3 푑푥 , −1 ≤ 푧 − 2 2 < 2 1 , 푧 − 2 2 ≥ 2 푃 푋 ≤ 푥 = FX(x) = 0 , 푥 < −1 푥 1 3 −1 푑푥 , −1 ≤ 푥 < 2 1 , 푥 ≥ 2
- 10. DAĞILIM FONKSİYONU TEKNİĞİ Sonuç olarak 푔 푥 = 2푥 + 2, 푥 ∈ 푹 olmak üzere 푍 = 푔(푋) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 퐹푍(푧) = 0 , 푧 < 0 푧−2 2 −1 1 3 푑푥 , 0 ≤ 푧 < 6 1 , 푧 ≥ 6 퐹푍 푧 = 0 , 푧 < 0 푧 6 , 0 ≤ 푧 < 6 1 , 푧 ≥ 6 şeklinde elde edilir. 푓푍 푧 = 1 6 , 0 < 푧 < 6 0 , 푑. 푦.
- 11. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ Tanım: Bir dönüşümün olasılık dağılımının bulunmasında olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğrudan belirlenmesi yöntemine olasılık (yoğunluk) fonksiyonu (ters dönüşüm) yöntemi denir. 푏 푓 푥 푑푥 = 1 olsun, Sürekli 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu 푓 ve 푎 푔 ∶ 푎, 푏 → 푐, 푑 ⊂ 푹 fonksiyonu artan veya azalan sürekli bir fonksiyon ve 푔−1 türevlenebilir ise 푌 = 푔(푋) rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 푓푌 푦 = 푓[푔−1 푦 ] 푑푔−1 푦 푑푦 , 푐 < 푦 < 푑 0 , 푑. 푦. dır.
- 12. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ Örnek: : 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 푓 푥 = 1 3 , −1 ≤ 푥 ≤ 2 0 , 푑. 푦. olsun. 푌 = 푋2 rasgele değişkenin tanım kümesi, (푎, 푏) = (−1,2) olmak üzere 푥 ∈ (−1,2) için y ∈ (0,4) dır. 푔1 ∶ −1,0 → 0,1 푥 → 푔1 푥 = 푥2 −1 ∶ 0,1 → −1,0 푔1 −1 푦 = − 푦 푦 → 푔1 푔2 ∶ 0,1 → 0,1 푥 → 푔2 푥 = 푥2 −1 ∶ 0,1 → 0,1 푔2 −1 푦 = 푦 푦 → 푔2 푔3 ∶ 1,2 → 1,4 푥 → 푔3 푥 = 푥2 −1 ∶ 1,4 → 1,2 푔3 −1 푦 = 푦 푦 → 푔3
- 13. TERS DÖNÜŞÜM TEKNİĞİ Buradan, 푓푌 푦 = −1 푦 ] 푓[푔1 −1 푦 푑푦 푑푔1 −1 푦 ] + 푓[푔2 −1 푦 푑푦 푑푔2 , 0 < 푦 < 1 −1 푦 푓 푔3 −1 푦 푑푦 푑푔3 , 1 < 푦 < 4 0 , 푑. 푦. 푓푌 푦 = 1 3 − 1 2 푦 + 1 3 1 2 푦 , 0 < 푦 < 1 1 3 1 2 푦 , 1 < 푦 < 4 0 , 푑. 푦. 푓푌 푦 = 1 3 푦 , 0 < 푦 < 1 1 6 푦 , 1 < 푦 < 4 0 , 푑. 푦.
- 14. MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONU Tanım: 푋 bir rasgele değişken olsun. ℎ > 0 olmak üzere 푡 < ℎ aralığındaki her değeri alan t için 푒푡푋 in beklenen değeri X in moment çıkaran fonksiyonu olarak tanımlanır. 푋 kesikli bir rasgele değişken ise, 푋 sürekli bir rasgele değişken ise, 푀푋 푡 = 퐸 푒푡푋 = 푥 푒푡푋푓(푥) 푀푋 푡 = 퐸 푒푡푋 = +∞ −∞ 푒푡푋푓 푥 푑푥 Moment çıkaran fonksiyonun bazı özellikleri, a) 푀푋+푎 푡 = 퐸 푒푡 푋+푎 = 푒푎푡푀푋 푡 b) 푀푏푋 푡 = 퐸 푒푡푏푋 = 푀푋(푏푡) c) 푀푋1+푋2 푡 = 퐸 푒푡(푋1+푋2) = 퐸 푒푡푋1 퐸 푒푡푋2 = 푀푋1 (푡)푀푋2 (푡)
- 15. ALIŞTIRMALAR 1) 푋1, 푋2, … 푋푛 Bernoulli dağılımına sahip bağımsız rasgele değişkenler olsun. 푌 = 푛 푖=1 푋푖 rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir? Bernoulli dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri, 푓 푥 = 푝푥 1 − 푝 1−푥, 푥 = 0,1 퐸 푋 = 푝 , 푉 푋 = 푝푞, 푀푋 (푡) = (푞 + 푝푒푡)
- 16. ALIŞTIRMALAR 푌 rasgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu 푀푌 푡 = 퐸 푒푡푌 = 퐸 푒푡(푋1+푋2+⋯+푋푛) = 퐸 푒푡푋1 퐸 푒푡푋2 … 퐸 푒푡푋푛 = 푀푋1 푡 푀푋2 푡 … 푀푋푛 t = 푞 + 푝푒푡 푞 + 푝푒푡 … 푞 + 푝푒푡 푀푌 (푦) = 푞 + 푝푒푡 푛 Binom dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri, 푓 푥 = 푛 푥 푝푥푞푛−푥 , 푥 = 0,1,2, … , 푛 퐸 푋 = 푛푝 , 푉 푋 = 푛푝푞, 푀푋 (푡) = 푞 + 푝푒푡 푛
- 17. ALIŞTIRMALAR 2) 푋1, 푋2, … 푋푛 üstel dağılıma sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere, 푌 = min{푋1, 푋2, … 푋푛} rasgele değişkeninin olasılık dağılımı nedir? Üstel dağılıma sahip 푋 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri: 푓 푥 = 휆푒−휆푥 , 푥 > 0 0 , 푑. 푦. 퐹 푥 = 1 − 푒−휆푥, 푥 ≥ 0 0 , 푥 < 0 퐸 푋 = 1 휆 , 푉 푋 = 1 휆2 , 푀ç 푡 = 1 − 푡 휆 −1 dır.
- 18. ALIŞTIRMALAR İlk olarak, 퐹푌 푦 = 푃 푌 ≤ 푦 = 푃 min 푋1, 푋2, … 푋푛 ≤ 푦 = 1 − 푃 푋1, 푋2, … 푋푛 > 푦 = 1 − 푃 푋1 > 푦, 푋2 > 푦, … , 푋푛 > 푦 푃 푌 ≤ 푦 = 1 − 푃 푋1 > 푦 푃 푋2 > 푦 … 푃 푋푛 > 푦 elde edilir. 푃 푋 ≤ 푥 = 1 − 푒−휆푥 → 푃 푋 > 푥 = 푒−휆푥 퐹푦 = 1 − (푒−휆1푦푒−휆2푦 … 푒−휆푛푦 푌 ) 푛 퐹푌 푦 = 1 − 푒− 푖=1 휆푖푦 푛 휆푖 ) parametreli üstel dağılıma sahip olduğu görülmektedir. Buradan, 푌 rasgele değişkeninin ( 푖=1
- 19. ALIŞTIRMALAR 3. 푋1, 푋2, … 푋푛 normal dağılıma sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere, 푍 = 푋 − 휇 휎 rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir? 1 2 푔: −∞, ∞ → −∞, ∞ 푥 → 푔 푥 = 푋 − 휇 휎 푔−1: −∞, ∞ → −∞, ∞ 푧 → 푔−1 푧 = 휎푧 + 휇 Normal dağılıma sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu 푓 푥 = 1 휎 2휋 푒− 푥−휇 휎 2 , −∞ < 푥, 휇 < +∞ , 휎 > 0 퐸 푋 = 휇 푉 푋 = 휎2
- 20. ALIŞTIRMALAR 푓 푧 = 푓 푔−1 푧 푑푔−1 푧 푑푧 , 푧 ∈ 푅 푓 푧 = 1 휎 2휋 1 2 푒− 푧휎+휇−휇 휎 2 휎 푓(푧) = 1 2휋 푧2 2 , 푧 ∈ 푅 푒− Buradan rasgele değişkenin (휇 = 0, 휎 = 1) parametreli (standart) normal dağılıma sahip olduğu görülmektedir.
- 21. ALIŞTIRMALAR 4) 푋1, 푋2 sırasıyla 푛1, 푛2 serbestlik dereceli ki kare dağılımına sahip bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere, Y = 푋1/푛1 푋2/푛2 rasgele değişkenin olasılık dağılımı nedir? 푛1 serbestlik dereceli ki kare dağılımına sahip 푋 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu ve bazı sayısal karakteristikleri, 푓 푥 = 1 푛 2 Γ 2 푛 2 푥 푛 2−1 푒− 푥 2 , 푥 > 0 푛 2 ; 2푡 < 1 퐸 푋 = 푛 , 푉 푋 = 2푛 , 푀ç 푡 = 1 − 2푡 − dır.
- 22. ALIŞTIRMALAR İlk olarak, 푋1 ve 푋2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonları 푓푋1,푋2 푥1, 푥2 = 1 푛1 2 Γ 2 푛1 2 푛1 2 푥1 −1 푥1 2 푒− 1 푛2 2 Γ 2 푛2 2 푛2 2 푥2 −1 푥2 2 , 푥1 > 0, 푥2 > 0 푒− şeklinde elde edilir. 푔1 푦1, 푦2 = 푌1 = 푋1/푛1 푋2/푛2 −1 푦1, 푦2 = ve 푌2 = 푋2, 푔1 푛1푌1푌2 푛2 −1 푦1, 푦2 = 푌2 푔2 푦1, 푦2 = 푌2 = 푋2 ve 푔2
- 23. ALIŞTIRMALAR Ters dönüşüm fonksiyonu, Jakobien matrisi, 퐽 = 휕푔−1 1 휕푦1 휕푔2 −1 휕푦1 −1 푦1,푦2 , 푔2 휕푔−1 1 휕푦2 휕푔2 −1 휕푦2 = 푛1푌2 푛2 0 푛1푌1 푛2 1 = 푛1푌2 푛2 푓푌1,푌2 푦1, 푦2 = 푓푋1,푋2 푔1 −1 푦1,푦2 퐽 , 푦1, 푦2 > 0 dır. 푓푌1,푌2 푦1, 푦2 = 1 푛1 2 Γ 2 푛1 2 푛1푦1푦2 푛2 푛1 2 −1 푒 − 푛1푦1푦2 2푛2 1 푛2 2 Γ 2 푛2 2 푦2 푛2 2 −1 푒− 푦2 2 푛1푦2 푛2
- 24. ALIŞTIRMALAR 푌1 rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, 푓푌1 푦1 = ∞ 푦2=0 푓푌1,푌2 푦1, 푦2 푑푦2 푓푌1 푦1 = ∞ 푦2=0 1 2 푛1 2 Γ n1 2 푛1푦1푦2 푛2 푛1 2 −1 푒− 푛1푦1푦2/2푛2 1 푛2 2 Γ 2 푛2 2 푦2 2 푒− 푛1푦2 푛2 푑푦2 푓푌1 푦1 = Γ 푛1 + 푛2 2 푛1 푛2 푛1 2 푛1 2 푦1 −1 Γ 푛1 2 Γ 푛2 2 푛1 푛2 푦1 + 1 푛1+푛2 2 , 푦1 > 0 Sonuç olarak, 푌1 rastgele değişkeninin (푛1, 푛2) parametreleriyle F dağılımına sahip olduğu görülmektedir.
- 25. 푣 = 1 훼 = 훽 = 1 푋푖 2 푋1 푋2 1 푋 푣 → ∞ 푋2 푋1/푣1 푋2/푣2 푣1푋 푣2 → ∞ Beta-binom (푛, 훼, 훽) Hipergeometrik −휆 푙표푔푋 푋1/훽 훽 = 1 푒−푋/휆 훼 = 훽 = 2 휆 = 2 푣 2 푣 = 2 푋푖 훼 = 훽 = 1 푋1 푋1 + 푋2 휇 = 훼훽 휎2= 훼훽2 훼 → ∞ 푋 − 휇 휎 ln 푋 푒푋 훼 = 훽 → ∞ 휇 = 푛푝 휎2= 푛푝 1 − 푝 푛 → ∞ 푛 = 1 Negatif Binom (푛, 푝) Poisson (휆) Binom (푛, 푝) (푀, 푛, 퐾) Normal (휇, 휎) Beta (훼, 훽) Lognormal Normal (0,1) Gamma (훼, 훽) Düzgün (sürekli) Cauchy Student - 푡 (푣) F (푣1, 푣2) Ki-kare 푣 Üstel (휆) Weibull (훼, 훽) 푚푖푛 푋푖 푚푖푛 푋푖 푛 = 1 푋푖 휆 = 푛 1 − 푝 푛 → ∞ 휆 = 푛푝 푛 → ∞ 푋푖 휆 = 휎2 휆 → ∞ 푋푖 푋푖 푝 = 훼 훼 + 훽 훼 + 훽 → ∞ 푝 = 푀 푁 , 푛 = 푘 푁 → ∞ 푋푖 휇 + 휎푋 Bernoulli (푝) Kesikli düzgün Geometrik (푝)
- 26. KAYNAKLAR 1. AKDENİZ. F. ,Olasılık ve İstatistik, Nobel Kitapevi, ADANA 2010 2. NASIROVA. T. KHANİYEV. T. , YAPAR. C. , ÜNVER. İ. , KÜÇÜK. Z. , Olasılık, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matbaası, TRABZON-2009 3. http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/Dersler/ 4. http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/ 5. http://tr.wikipedia.org/
- 27. Teşekkürler…