Complemento Ortogonal

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

¿Qué es el complemento ortogonal?

Vamos a tomar un conjunto \(V\) cualquiera. El complemento ortogonal de \(V\) sería otro conjunto \(W\), cuyos elementos son ortogonales a los elementos de \(V\).

Por ejemplo, en \(\mathbb{R}^{3}\): imaginando que \(V\) es un plano horizontal. ¿Cuál sería el conjunto \(W\), cuyos elementos son ortogonales a \(V\)? ¡Una recta vertical! Mira el gráfico:

Ya vimos el ejemplo práctico, así que veamos la definición formal del complemento ortogonal.

Notación: simbolizamos el complemento ortogonal de \(V\), como \(V^{\perp}\) (se lee \(V\) perp)

Nota: \(V^{\perp}\) siempre será un subespacio vectorial.

Calculando el Complemento Ortogonal

¿Cómo podemos saber cuál es el complemento ortogonal de otro conjunto? Veamos un ejemplo:

Siendo \(H=\operatorname{span}\{(1,2,3,4),(-1,2,-3,4)\}\), halle \(H^{\perp}\).

Sabemos que si tomamos cualquier vector de \(H\) y cualquier vector de \(H^{\perp}\) y hacemos el producto interno entre ellos, tiene que dar cero. Entonces, diremos que \(v=(x, y, z, w)\) es un vector genérico de \(H^{\perp}\), haremos el producto interno entre ellos con los vectores de \(H\) e igualaremos a cero.

\[\langle(1,2,3,4)(x, y, z, w)\rangle=0\]

\[\langle(-1,2,-3,4)(x, y, z, w)\rangle=0\]

Haciendo el producto interno obtendremos un sistema lineal homogéneo:

\[\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z+4 w=0 \\ -x+2 y-3 z+4 w=0\end{array}\right.\]

También puede ser representado como

\[\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & 0\end{array}\right]\]

Y lo resolvemos.

Espera un segundo…, vamos a analizar lo que estamos haciendo, estamos hallando la solución del sistema lineal homogéneo o el núcleo de la matriz en que las filas son los vectores de la base de \(H\).

Por tanto, siempre que queramos hallar el complemento ortogonal de un espacio \(H\), tomamos los vectores de la base de \(H\) los ponemos en las filas de una matriz y hallamos su núcleo.

Entonces:

\[\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 4 & 0\end{array}\right] \stackrel{L_{2} \leftarrow L_{2}+L_{1}}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 8 & 0\end{array}\right]\]

Y así, tenemos que:

\[4 y+8 w=0 \Rightarrow y=-2 w\]

\[x+2 y+3 z+4 w=0 \Rightarrow x+3 z=0 \Rightarrow x=-3 z\]

El vector genérico de \(H^{\perp}\) es dado por

\[(-3 z,-2 w, z, w)=z(-3,0,1,0)+w(0,-2,0,1)\]

Por tanto:

\[H^{\perp}=\operatorname{span}\{(-3,0,1,0),(0,-2,0,1)\}\]