Paralelkenar yasası

Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

Teoremin açıklaması[değiştir | kaynağı değiştir]

Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,

(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}.\,

burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,

Bir iç çarpım uzayı içinde,norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde parallelkenar kanunu bir cebrik özdeşliktir,iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,

\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,

bu iki bağıntı ekleniyor:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,

olarak gereklidir.

Eğer x yye ortogonal ise, $\langle x,\ y\rangle =0$ ve alınan bir toplamın normu için yukarıdaki denklem :

\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},

Bu pisagor teoremidir.

Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar[değiştir | kaynağı değiştir]

En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm p-normdur:

\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},

$x_{i}$ burada $x$ vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.^[1]^[2]

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde,polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,

veya, eşdeğerliği, ile:

{\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}{\text{ veya }}{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.

Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler $x,\ y\,$ kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

{\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}

bu iki vektörlerin standart nokta çarpımıdır.

Notlar ve iç-hat kaynakları[değiştir | kaynağı değiştir]

^ Cyrus D. Cantrell (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. s. 535. ISBN 0-521-59827-3. if p ≠ 2, there is no inner product such that ${\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}$ because the p-norm violates the parallelogram law.
^ Karen Saxe (2002). Beginning functional analysis. Springer. s. 10. ISBN 0-387-95224-1. 5 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Nisan 2014.