Geçen gün rahmetli babamın sürgülü hesap cetvelini buldum.   Diezgen marka hassas ve kaliteli bir alet. Bu yazı onun üzerine…

Bugün inanılması zor geliyor ama 1960’larda hesap makinesi diye bir şey yoktu.  Muhasebecilerin kullandığı mekanik FACIT’ler vardı ama bu ayrı bir konu.  Benim bahsettiğim hani şu avuç içi kadar olan “kalkülatör”ler.  Gerçi akıllı telefonlardan, saatlerden ve notebook bilgisayardan sonra onların da devri kapandı sayılır artık.  O dönemde hesap makinelerinin yerine mühendislerin emrinde bu logaritmik sürgülü cetveller vardı.   Dönemin en gelişmiş teknolojisini kullanan Apollo’ların ay yolculukları bunlarla hesaplanmıştı.    Aşağıda Apollo 13 filminden bir sahnede onların deyimiyle bir “slide rule” görüyorsunuz.

Bu hesap cetvelini kullanarak 3 haneli sayıların çarpma ve bölme işlemlerini yapabiliyorsunuz.   Alışkın biri aletin hareketli parçasını ve üzerinde ince bir gösterge çizgisi bulunan sürgüsünü çok hızlı kullanarak hesap yapabiliyor.  Ayrıca cetvelin üzerindeki sabit tablolar kullanılarak sayıların tersi, karesi, küpü, kare kökü, küp kökü; açıların sinüsü, kosinüsü gibi değerler hemen bulunabiliyor.  

Peki bu aletle çarpma işlemi nasıl yapılıyor?  Lisede ne işe yaradığını bir türlü anlayamadığımız bir logaritma belası yardı ya, hah işte o bu işe yarıyor.   Sayıların 10 tabanına göre logaritma değerleri kullanılarak çarpma işlemi toplama işlemine dönüştürülebiliyor.  “Çarpma işlemini toplama işlemine dönüştürmek,” en büyük esprisi bu.

Hatırlayalım: eğer bir sayıyı 10’un üssü olarak ifade ederseniz üs değeri, sayının 10 tabanına göre logaritmasıdır.  100 = 10² olduğuna göre log 100 = 2 demektir.   Benzeri biçimde log 10 = 1,  log 1000 = 3 olur.    Burada konumuz için önemli olan nokta şudur:  İki sayının çarpımının logaritması, bu iki sayının logaritmalarının toplamına eşittir.  En basit bir örnek:

10 x 100 = 1.000

10¹ x 10² = 10⁽¹⁺²⁾ = 10³

Aşağıdaki tabloda birden ona kadar tam sayıların logaritma değerlerinin iki basamağa yuvarlanmış halini görüyorsunuz.

Sayı	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Log10	0	0,30	0,48	0,60	0,70	0,78	0,85	0,90	0,95	1

Yani…

10^0,48 = 3

10^0,70 = 5

Çok basit bir çarpma işlemini ele alalım

2   x   5 = 10.

Bu iki sayı 10’un üslüsü olarak yazılırsa aşağıdaki gibi olur:

10_^0,30 x 10^0,70  = 10^{(0,30 + 0,70)} = 10¹ = 10

Aşırı basitleştirilmiş bu örnekle çarpmayı toplamaya dönüştürmekle ne kastettiğimi anlatabildim umarım. 

Başka pratik bir matematik numarası da sayıları uzunluklara çevirip, onlar üzerinde işlem yapmaktır.  Mesela bildiğimiz, her zaman kullandığımız iki cetveli toplama işlemi yapmak için kullanabiliriz.    Kırtasiyeden iki cetvel alıp, birinin sayılarının sıralanışını değiştirerek, bir cins sürgülü cetvel imal ettim.  Buna “lineer sürgülü cetvel” diyebilirsiniz.  İki sayının toplanması için kullanılabilir.  Şöyle bir şey oldu:

Böyle bir aletin nasıl kullanılacağını bir örnekle göstereyim.  Diyelim 3,2 ile 7,7 sayılarını toplamak istiyorsunuz. Bunun için üstteki cetvelin başlangıç çizgisini alttaki cetvelin 3,2 çizgisi hizasına getirirsiniz.  Sonra şeffaf sürgü üzerindeki çizgi üst cetveldeki 7,7 çizgisinin hizasına getirirsiniz. Bu durumda gösterge çizgisinin alt cetveli kestiği yer size toplamanın sonucunu verir: 10,9.  Burada iki sayıya karşı gelen uzunlukları uç uca ekleyip bu iki uzunluğun toplamını ölçmüş olduk.

Bu işlemi sayılara verdiğiniz ondalık çarpanları değiştirerek aşağıdakiler gibi de değerlendirebilirsiniz.

32 + 77 = 109

0,32 + 0,77 = 1,09

Logaritmik sürgülü hesap cetvelinde çok akıllıca bir şey yapmışlar.   Cetvelin iki parçasının üzerindeki çizgilerin yerini sayıların logaritma değerine göre saptamış, ama bu sayıların karşısına logaritma değerlerini değil sayıların orijinal değerlerini yazmışlar.  Yani cetvelin başından 48 birim sonraki çizgiyi “3”,  85 birim sonraki çizgiyi “7” olarak adlandırmışlar.  (Yukarıdaki tam sayıların logaritmaları tablosuna bakınız).  Böyle bir dizilimde sayılar büyüdükçe aralarındaki aralıklar kısalıyor.  Aşağıdaki resimde bir normal (lineer) cetvelle, bir logaritmik cetvelin farkını görebilirsiniz:

Bu şekilde tasarlanmış iki cetvelle, daha önce anlattığım biçimde uzunlukları ekleyerek toplama işlemi yapacak olursanız elde ettiğiniz uzunluk logaritmaların toplamına karşı gelir, ama cetvelde okuduğunuz değer doğrudan doğruya çarpımın sonucudur.

Şimdi gerçek sürgülü cetvelle bir kaç örnek işlem yapabiliriz. Çarpım için C ve D sıraları kullanılır. Böyle hassas bir sürgülü cetvelle üç haneliye kadar olan sayıların çarpımını yapmak mümkün.  Cetvellerdeki büyük puntolu rakamlar tam sayıları, küçük puntolar onda birler hanesini, iki küçük punto arasında kalan bölmeler de yüzdebirler hanesini gösteriyor. (Sayılar büyüdükçe aralıklar küçüldüğü için belli bir noktadan sonra ondabirler basamağı da sadece çizgi olarak gösterilmiş.) 

Diyelim 2 x 1.5 işlemini yapmak istiyorsunuz.  O zaman ortadaki hareketli parçayı kaydırarak “C” dizisinin başlangıcı olan 1 noktasını, aşağıdaki cetveldeki “D” dizisinin 2 çizgisi karşısına getiriyorsunuz.  Sonra sürgüyü “C” dizisinin 1,5 noktasına kaydırıyorsunuz.  Bu durumda gösterge çizgisi “D” dizisinde işlemin sonucunun yani “3” rakamının üzerine gelir.

İki ya da üç haneli sayıların çarpımında iş biraz daha dikkat gerektiriyor.  Aşağıda kolay bir örnek verdim.

1,2 x 1,2 = 1,44

Burada çok önemli bir nokta var. “12 x 12 = 144”, “120 x 120 = 14.400” işlemlerini yaparken de sürgülü de cetveli tamamen aynı konuma getiriyoruz. Cetvel bize bu çarpma işlemlerinin sonuçlarının ilk üç hanesini veriyor ama sayının kaç sıfırlı olduğunu saptamak bize kalıyor.

Mühendisler sayıları otomatikman iki bölüme ayırarak düşünürler: sayının rakam kısmı ve ondalık çarpanı (mertebesi) Yani şöyle:

12 = 1,2 x 10¹

120 = 1,2 x 10²

 Bu hale getirilmiş iki sayı ile çarpma işlemi yapmak için rakamlar çarpılır, ondalık kısımların üsleri toplanır.  Örneğin:

12 x 12 = (1,2 x 10¹) x (1,2 x 10¹) = 1,44 x 10² = 144 veya

120 x 120 = (1,2 x 10²) x (1,2 x 10²) = 1,44 x 10⁴ = 14.400

Aynı şekilde başka bir örnek daha verdim:

1,36 x 2,12 = 2,89 veya 136 x 212 = 28 900

Sürgülü cetvelle hesaplama yaparken zihninizin dinamik olarak hangi mertebelerle uğraştığınızı takip etmesi gerekiyor, yoksa 10 kat hatalı bir sonuç almak işten bile değil ki önemli projelerde böyle hatalar olmuş diye duymuştum. Bir kağıda notlar alarak yapmak en garantilisi.  

İkinci bir konu elde ettiğiniz rakamlar hiçbir zaman üç haneden büyük olamıyor.   0,289 olabilir, 28,9 olabilir,   2.890.000 olabilir ama fazladan bir dördüncü  rakam elde edemezsiniz.  1,36 x 2,12 işlemini bugün bir hesap makinesi ile yaparsanız elde edeceğiniz sonuç 2,8832’dir, oysa sürgülü cetvelle en hassas olarak 2,89 sonucunu elde edebiliriz  Muhasebecilerden farklı olarak mühendisler için dördüncü basamak ve sonrasındaki sonraki rakamların genellikle önemi yoktur,. Değerin yüzde birinden daha küçük bir belirsizlik demektir bu çünkü.  Daha hassas hesaplar için o zaman da bilgisayar kullanılıyordu her halde.

Sürgülü hesap cetveli ile bölme de yapılabiliyor.  Bu durumda işlemi tersine çevirmek gerekiyor.  Örneğin 2,4’ü 2’ye bölmek için sürgünün üzerindeki çizgiyi “D” dizisindeki 2,4 noktasına getiriyorsunuz.  Bu durumda”D” dizisinde “C”nin başlangıç noktası karşısındaki nokta bölümü veriyor.

Bu cetveli kullanmak bize çok zor gelse de babamın döneminin mühendislerinin onu çok hızlı biçimde kullanabildiklerini hatırlıyorum, neredeyse bugünün gençlerinin telefonda mesaj yazdıkları hızda!